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旅人算がわかる!中学受験の算数の旅人算の問題をマスター!

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中学受験の算数をやっていて絶対に避けて通れない速さの問題。その中でも絶対に避けては通れないのが旅人算の問題です。

また、応用が利く分野でもあるので、自由自在に扱えるのをゴールにしましょう。

旅人算ってどんな問題なの?

追い越す車

まずは旅人算の問題のポイントをおさらいしたいと思います。

旅人算ってなに?

旅人算というのは2つ以上のものの出会いや追い越しなどを考える問題です。

簡単な例でいうとAさんが先に出て、それを追いかけるBさんがどれくらいでAさんに追いつくかという問題です。

また、応用の効く考え方なので、算数をマスターするためには絶対解けないといけない問題です。

まずは簡単な問題をいくつか解説したいと思います。

旅人算のパターン①:出会いの旅人算

まずは出会いの旅人算の問題です。

たとえば自動車Aと自動車Bという二つの車があるとしましょう。

AとBの間の距離は30mあって、Aは秒速2mでBが秒速4mで走っていて、お互い向かいあって走っています。

それでは彼らがすれ違うのは何秒後なのでしょうか。

Aは1秒で2m進み、Bは1秒で4m進むので、お互いに1秒で6m近づきます。

よって、30m近づくには

30m÷6(m/秒)=5

となりますので、5秒後に彼らは出会います。

このように出会いの旅人算の公式は、

(出会うまでの時間)=道のり÷(2つの速さの和)

 となります。

 

出会いの旅人算

旅人算のパターン②:追い越しの旅人算

もう一つは追い越しの旅人算です。

たとえば、自動車Aと自動車Bがあって、それぞれ秒速6mと秒速4mで走るとしましょう。

Bは今Aの24m先にいると想定します。

それではAはいつBに追いつくのでしょうか?

Aは1秒で6m進み、Bは1秒で4m進むので、AはBに1秒で2m近づきます。

つまり、AがBに24m近づくには、

24m÷2(m/秒)=12

となるので、Aは12秒後に会うことになります。

つまり、追い越しの旅人算の公式は

(追い越しまでの時間)=道のり÷(2つの速さの差)

 という風になります。

追い越しの旅人算

旅人算の問題ってどのような応用問題があるの?

時計

これまでは旅人算の問題の基本を学んできましたが、旅人算は応用の効く問題です。

これをどのような時に使うのでしょうか。

旅人算の応用①:池を回る問題

池を2人の人物が回るというケースの問題があります。

たとえば、このような問題があるとしましょう。

問 池の周りをAとBが走っています。池の周りの距離は1500mあります。反対方向で同じ位置から同時に走ったとき、15分で彼らは出会います。また、同じ方向から走り出す場合、AがBを追い越すのに50分かかりました。AとBそれぞれの速さを求めなさい。

この場合、反対方向に進む場合は出会いの旅人算と同じなので、2つの速さの和は

1500÷15=100

になり、分速100mとなります。

また、同じ方向だと追い越すには1500m先に行かないといけないので、

1500÷50=30

なので、AとBの速さの差は分速30mです。

和が100mで差が30mなので、Aは

(100+30)÷2=65

で分速65mになります。そして、Bは分速35mになります。

このような池の周りを走る問題は定番ですので演習しておきましょう。

池と旅人算

旅人算の応用②:時計算

時計算は旅人算を応用させた問題です。

短針と長針の動きを考えながら解く問題です。

たとえば、以下のような問題があります。

問 ある時計が2時を指しています。長針と短針が重なるのは2時何分ですか?

この問題の場合、まず長針と短針が1分でどれくらい動くのかを考えましょう。

長針は1時間で360度回るので、1分で6度回ります。

短針は1時間で30度動くので、1分で0.5度回転します。

これを考えながら問題を解いてみましょう。

2時の時、長針と短針の間の角度は60度です。

そして、長針と短針は毎分5.5度縮まりますので、長針が短針に追いつくには、

60÷5.5=120/11

になるので長針と短針が重なる時間は2時10 10/11分です。

旅人算の応用③:ダイアグラムの問題

距離と時間がかかれたダイアグラムのグラフの問題が出ることがあります。

この問題の場合は図の折れ目に注目することが大事です。

なぜならその折れ目のところで何か変化が起きているからです。

そこで何が起きているのかをしっかり把握しておきましょう。

また、文章題で書かれている問題もダイアグラムを書けば簡単に解ける問題もあるので、積極的にグラフを書くようにしましょう。

ダイアグラムで解く際にはできる三角形によっては相似比を使うことができるので、それで解けそうなものは解いてみるようにしましょう。

きっと時間もだいぶ省略して解くことが可能になると思います。

旅人算の応用④:図形の移動

図形の移動の問題で旅人算の考えを使うケースもあります。

点の移動を考える際にこの考えが必要になります。

普通の点の異動の問題であれば、簡単ですが、相似などと絡めてくる場合があるので、その際には考えることが大切です。

旅人算の使い方をマスターしよう

旅人算は中学受験で重要な考え方のひとつなのでしっかりマスターするようにしましょう。

塾の問題集などでもたくさん問題があるので演習量を増やしておいて、公式だけではなく考え方もわかるようにしましょう。

 

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