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中学受験でやるつるかめ算って何?つるかめ算の解き方と応用例も紹介!

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中学受験で重要な分野であるつるかめ算。中学受験でも最初のほうに学ぶ特殊算で様々な分野で使うことができます。

まずはつるかめ算の基本を学んだ後につるかめ算の応用例についていくつか紹介します。

つるかめ算ってなに?どのように解くの?

つるかめ算

 まずはつるかめ算というのはどのような問題なのかを簡単な問題を紹介します。

つるかめ算の例

まずはこのような問題を考えてみましょう。

問 亀と鶴がそれぞれ何匹かいます。鶴と亀は合計で15匹います。そして、鶴の足の本数と亀の足の本数を合わせると合計で40本ありました。亀と鶴はそれぞれ何匹いますか?

この問題では2つの条件がわかっています。

  • 亀と鶴は合計で15匹いる。
  • 足の本数の和は40本

このように2つのものに対して、2つの条件がわかっているような問題のことをつるかめ算といいます。

つるかめ算は面積図で解く!

それではこのつるかめ算はどのように解けばいいのでしょうか。

ここで面積図という図を使います。下の図が面積図です。

横が鶴と亀の数で、縦がそれぞれが1匹が持つ足の本数です。(鶴は2本、亀は4本です)

面積は(足の本数)×(鶴または亀の数)なので、足の本数の合計です。

そして上記の問題で行くと面積は40になります。

もし、15匹とも亀の場合は60本になります。それが4×15=60の長方形になります。

しかし、足の本数は合計で40本なので、20本多いです。

この20本が白い長方形の面積になります。

さらに白い長方形の縦の長さは面積図より4-2=2本になります。

よって白い長方形の横の長さは20÷2=10なので、鶴は10匹いることがわかります。

そして亀は15-10=5匹いることがわかります。

このように面積図を使うと簡単に問題を解くことが可能です。

つるかめ算の面積図

つるかめ算の応用例ってなに?

算数

これまで基本的なつるかめ算の問題を見てきましたが、それ以外には様々な応用例があります。

つるかめ算の応用①:割合のつるかめ算

まずは割合のつるかめ算の問題です。

 次のような問題を考えてみましょう。

問 ある中学校の去年の生徒数が500人いました。男子の生徒が5%増えて、女子生徒が3%減ったところ生徒数は今年509人になりました。今年の男子と女子の生徒数は何人ずついますか。

このような問題を考える場合、去年いた生徒数を1とすることにしましょう。

そうすると男子は今年1.05で女子は0,97になります。

これを面積図に反映させると以下のような面積図になります。

横の長さが去年いた生徒数の人数の合計です。

そして、縦が去年に比べての割合なので男子は1.05で女子は0,97になります。

1×500の長方形が去年の人数になります。

このように考えると500×1.05=525で今年の509人より16多いで、これが白いところの面積になります。

白い長方形の縦の長さは0.08なので、横は16÷0.08で200人になります。

女子の人数は200人なので男子は300人です。

よって今年は女子は200×0.97=194人で男子が315人になります。

このように割合を考える問題も多く出題されます。

 

割合のつるかめ算

つるかめ算の応用②:速さのつるかめ算

次は速さの問題とつるかめ算を絡めた問題です。

このような問題があったとしましょう。

問 1.5㎞の道のりを最初は分速60mで歩いていましたが、途中で分速100mに変えたところ21分で1.5㎞を進みました。分速100mで走ったのは何分ですか?

このような速さの問題でもつるかめ算は使えます。

この場合は以下のような図になります。

横に時間を置いて、縦に速さを置きます。

このようにするとそれぞれの移動する距離が面積になります。

100×21をすると2100mになるので、600m多いことがわかります。

この600m分が、白い長方形の面積になります。

また、この長方形の縦の長さが40であることがわかるので、横は600÷40=15になります。

したがって、15分間は分速60mで走り、6分は分速100mで走ります。

このような問題は速さのダイアグラムの問題などを解く際にも地味に出てくるので、常にこの解き方にアンテナを張っておきましょう。

速さのつるかめ算

つるかめ算の応用③:損益算のつるかめ算

損益算と絡めたつるかめ算の問題も存在します。

例としてはこのような問題があります。

問 ある商品を1個の原価120円で40個購入しました。最初は原価に25%の利益をのせて、定価として売っていましたが途中で全部売るためにそこから10%引きしたところ、利益は960円になりました。定価で売れた商品の数はいくつでしょうか。

このような問題ではまず、定価や割引後の値段やその利益を考えてみましょう。

まずこの商品の定価は120×1.25=150になりますので、利益は30円になります。

そして、そこから1割引したので、150×0.9=135になり、利益は15円になります。

このように考えると面積図が書けるようになります。

横に商品の個数を置いて、縦にそれぞれの1個あたりの利益を書きます。

面積はその商品の総利益になります。

40×30すると1200円になるので240円オーバーになってしまいます。

これが白い長方形の面積になるので、それの縦の長さが15円になるので、横は240÷15=16になるので、10%引きの商品は16個売れたことがわかります。

こうすることで、定価で売れたのは24個売れたことがわかりました。

 

損益算のつるかめ算

3つのつるかめ算

これまでは2つの対象物についてのつるかめ算をやってきましたが、今度は3つのものについてのつるかめ算です。

次のような状況を考えてみましょう。

問 ゆかりさんは、60円、90円、120円の3種類の切手を合わせて17枚買いました。その合計金額は1440円になりました。60円の切手は90円の切手の2倍の枚数を買いました。それぞれ何枚に買いましたか。

このようなタイプの問題は2段階に分けて考えるようにしましょう。

この場合も面積図を使いましょう。

まずは120円の切符で17枚買ったと仮定しましょう。

そうすると、120×17=2040となります。

2040円は1440円より600円多いので、白く囲まれているところが600円に値します。

ここからもう一度つるかめ算的な考えをします。

60円切符は90円切符の2倍あるので、90円切符を①とすると60円切符は②になります。

このように設定すると90円のところの白い部分は1×30=30になって、60円のところは60×2=120になります。

そうすると白いところの総和は150になります。

よって①=600÷150=4になるので、4枚の90円切符があり、60円切符は8枚あります。

そして、120円切符は5枚あります。

このように比などを使って、3個のつるかめ算を解くことが可能です。

3つのつるかめ算

つるかめ算をマスターしよう!

つるかめ算は中学受験で非常によく出る分野のひとつです。

しっかり応用問題まで学んで使うところでは完璧に使いこなせるようにしましょう。

 

 

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